Задачі

Див. також задачі в залікових роботах

1. Точкові групи

    Група обертань

  1. Ортогональне перетворення задане матрицею:
    а) 0 -1 0 б) -2/3 2/3 1/3 в) 1/2 -1/2 -sqrt(2)/2 г) -2/3 2/3 1/3
    0 0 1 2/3 1/3 2/3 -1/2 1/2 -sqrt(2)/2 -1/3 -2/3 2/3
    1 0 0 1/3 2/3 -2/3 sqrt(2)/2 sqrt(2)/2 0 -2/3 -1/3 -2/3
    З'ясувати власне чи невласне це перетворення і знайти кут та вісь обертання.
  2. Знайти кути Ейлера обертання: а) R(2p/3,[111]); б) R(p,[110]); в) R(p/4,[100]); г) R(p/5,[001]).
  3. Записати матрицю заданої операцію симетрії.
  4. Знайти характер заданого ортогонального перетворення в заданому представленні групи обертань.
  5. Записати матрицю ортогонального перетворення в заданому представленні.
  6. Знайти перетворення заданої сферичної функції при ортогональному перетворенні координат.
  7. Довести, що група ортогональних перетворень є прямим добутком групи власних обертань і групи інверсії.

    8. Точкові групи

  8. Перелічити нееквівалентні елементи та вказати твірні заданої точкової групи.
  9. Знайти підгрупи і надгрупи даної точкової групи.
  10. Довести еквівалентність: а) D2d=D4i; б) C3h=C6i.
  11. Знайти гармонічні поліноми до третього порядку включно, які реалізують базис незвідних представлень групи D3h.

2. Симетрія фізичних тензорів

  1. Діелектричинй тензор кубічного кристалу.
  2. Для яких груп п'єзоелектричний тензор нульовий?
  3. Тензор модулів пружності ізотропного середовища.
  4. Тензор модулів пружності кубічного кристалу.

3. Симетрія і структура молекул

    Структура молекул

  1. Вказати симетрію і елементарний фрагмент заданої молекули.
  2. Вказати незалежні параметри геометрії заданої молекули.
  3. Вказати перестановочно-інверсійну групу заданої молекули.
  4. Дослідити деформацію заданої молекули в електричному полі.
  5. Пояснити структуру циклічних алканів.
  6. Вказати чотири найстійкіші ізомери 13-атомних металічних кластерів. Проаналізувати їх симетрію.

    7. Електронна структура і коливання молекул

  7. Методом ЛКАО знайти хвильову функцію основного стану гіпотетичної молекули, яка складається з атомів гелію, розташованих у вершинах: правильного многокутника (He4, He6), правильного многогранника (He4, He6, He8), інших фігур (біпіраміда He5), за умови, що хвильові функції окремих атомів слабо перекриваються. Вказати симетрію і псевдоорбітальне квантове число молекулярних орбіталей. Який смисл має така задача для реальних молекул?
  8. Попередня задача з p-електронами.
  9. Коливання вищезгаданих молекул.
  10. Обчислити (чисельно) рівні енергії потенціального ящика у формі рівностороннього трикутника і дати їх симетрійну класифікацію.
  11. Знайти рівні енергії потенціального ящика у формі квадрата і дати їх симетрійну класифікацію.
  12. Знайти рівні енергії потенціального ящика у формі куба і дати їх симетрійну класифікацію.
  13. Обчислити (чисельно) рівні енергії потенціального ящика у формі тетраедра і дати їх симетрійну класифікацію.

4. Просторові групи

    Група рухів

  1. Довести, що група рухів є напівпрямим добутком підгрупи обертань і інваріантної підгрупи трансляцій.

    2. Кристалографічні групи

  2. Вказати індекси площини, яка містить вектори [2,0,-1] і [1,5,2].
  3. Знайти всі значення параметрів гратки hR, при яких вона вироджується в гратку вищої симетрії.
  4. Вказати граткову систему, тип центрування, незалежні параметри і примітивну комірку заданої гратки Браве.
  5. Вказати кристалографічну систему, сингонію, тип гратки Браве, кристалографічний клас і арифметичний клас заданої просторової групи.
  6. Знайти всі просторові групи, що мають задані гратку Браве і точкову групу.
  7. Вказати розташування атомів кристалу в заданій площині і знайти відстань між сусідніми шарами.
  8. Побудувати гратку, обернену до заданої.
  9. Комірка Вігнера-Зейтца і позиції Уайкофа кубічних граток.

5. Симетрія і структура кристалів

    Структура кристалів

  1. Знайти порожнини в алмазній гратці: положення центру, форма, відстань до найближчих атомів.
  2. Показати, що гратка bcc складається з двох алмазних підграток.
  3. Пояснити реконструкцію 7x7 поверхні Si (111).
  4. Чому g-залізо легше кується ніж a-залізо?
  5. Металічна "прафаза" напівметалів 5-ї групи має просту кубічну гратку. Пояснити перехід в напівметалічну фазу.
  6. Пояснити перехід a-Sn – b-Sn.
  7. Пояснити перехід diamond-C – graphite-C.
  8. Пояснити ферроелектричний перехід в BaTiO3.
  9. Пояснити перехід в суперіонний стан в AgI.
  10. Яка речовина може служити діелектричною матрицею для наноструктур на основі напівпровідника AgCl?
  11. Кристал має тетрагональну гратку з a=8.437A і c=7.139A, його густина 6.29 г/см3. Відомо, що в його складі можуть бути присутні In,Tl,Te. Визначити хімічну формулу кристалу і кількість атомів кожного сорту в елементарній комірці.
  12. Симетрія молекули ДНК.

    13. Електронна структура кристалів і динаміка кристалічної гратки

  13. Записати гамільтоніан і знайти спектр спінових хвиль у феромагнетику із заданою кристалічною граткою з урахуванням найближчих і наступних сусідів. Побудувати графіки для основних напрямків.