Програма курсу

Вступ

Елементи теорії груп і теорії представлень

Група. Підгрупа. Дискретні та неперервні групи. Приклади груп: Cn, Dn, pn; GL(n), O(n), SO(n), T(n), IO(n). Твірні елементи. Суміжні класи, інваріантна підгрупа, фактор-група. Орбіта і стабілізатор. Класи спряжених елементів. Прямий і напівпрямий добутки, розширення груп. Представлення групи. Індуковане представлення. Розклад на незвідні представлення. Характери. Тензорні добутки представлень та їх розклад. Многозв'язні групи, універсальні накриваючі і многозначні представлення.

Застосування теорії груп у фізиці

Геометрія молекул і кристалів та їх деформацій. Симетрія фізичних тензорів. Квантова механіка: симетрія хвильових функцій, класифікація стаціонарних станів, обчислення молекулярних орбіталей в методі ЛКАО, теорія збурень, правила відбору. Малі коливання: класифікація коливних мод і відшукання нормальних координат. Теорія Ландау фазових переходів: симетрія параметра порядку.

1. Точкові групи

Група обертань

Групи SO(3) і O(3). Загальний елемент групи. Параметризація обертань (два способи). Інфінітезимальні оператори. Представлення групи обертань. Характери елементів. Сферичні функції та їх трансформаційні властивості, сферичні поліноми. Скалярне, псевдоскалярне, векторне і псевдовекторне представлення: базис, оператори і характери. Розклад прямого добутку. Обчислення матричних елементів, правила відбору. Двозначні представлення групи обертань. Група O(2). Приклад: атом водню.

Точкові групи

Точкові групи. Елементи симетрії та їх позначення. Позначення і класифікація точкових груп. Групи граничної симетрії. Представлення точкових груп. Кубічна симетрія. Сферичні функції кубічної симетрії. Приклади: H2O, CH4, H2.

2. Симетрія фізичних тензорів

Приклади тензорів і псевдотензорів фізичних величин. Тензорні представлення, перетворення компонент тензора, інваріанти тензора. Відшукання інваріантів і запис тензора через його інваріанти. Приклади: вектор, псевдовектор, діелектричний тензор, п'єзоелектричний тензор, тензор модулів пружності, електричні і магнітні мультипольні моменти.

3. Симетрія і структура молекул

Структура молекул

Повна симетрія молекули, перестановочно-інверсійна група. Геометрична симетрія молекули. Визначення групи симетрії. Елементарний фрагмент молекули.

Типи зв'язку. Гібридизація атомних орбіталей: лінійна, тригональна, тетраедрична, октаедрична. Молекулярні орбіталі. Основні закономірності будови молекул. Приклади: H2, H2O, CH4, C6H6, SF6.

Фізичні властивості молекул

Момент інерції. Тензор поляризовності. Тензори електричних і магнітних мультипольних моментів.

Механіка малих коливань. Класифікація коливних мод. Обчислення нормальних координат.

Теорія Хартрі–Фока. Метод ЛКАО. Обчислювальна складність молекули. Електронна структура молекул: класифікація рівнів, їх взаємне розташування і симетрія хвильових функцій. Обчислення хвильових функцій молекулярних орбіталей в методі ЛКАО. Розщеплення рівнів в електричному полі. Правила відбору для випромінювання і комбінаційного розсіяння світла.

4. Просторові групи

Група рухів

Група рухів IO(3). Група трансляцій та її представлення. Представлення ІО(3). Приклади: вільна частинка, частинка в одновимірному періодичному потенціалі, випадок симетричного потенціалу.

Кристалографічні групи

Кристалографічні групи. Гвинтова вісь і площина ковзання. Загальне представлення групових елементів. Гратка Браве і базис (мотив). Групи Браве, граткові системи, типи центрування. Граткові координати, кристалографічні індекси. Комірки: елементарна, примітивна, Браве, Вігнера-Зейтца. Примітивна комірка і комірка Вігнера-Зейтца кубічних граток, ромбоедрична гратка в гексагональних координатах. Взаємоперетворення граток. Сингонії, кристалографічні і арифметичні класи, кристалографічні системи. Симорфні і несиморфні групи, енантиоморфні групи, групи максимальної симетрії та їх деформації. Позиції Уайкофа (орбіти), стабілізатори, порядок групи, приклади груп максимальної симетрії. Граничні групи: групи стержнів і шарів.

Тригонометричні ряди в тривимірному просторі. Обернена гратка. Зони Брілюена. Представлення кристалографічних груп.

5. Симетрія і структура кристалів

Структура кристалів

Елементарний фрагмент кристалу. Задання кристалічної структури, структурний тип, символ Пірсона. Характеристики кристалів: структурне групування, тип зв'язку, координація атомів, координуюча підгратка, коефіцієнт пакування. Деформовані гратки. Поліморфізм. Гексагональні щільноупаковані структури, тетраедрична і октаедрична порожнини, послідовності гексагонально упакованих шарів. Основні закономірності будови кристалів: ковалентні, іонні, металічні, молекулярні кристали. Атомні ковалентні та іонні радіуси.

Основні структурні типи. Метали: кубічна гранецентрована гратка (Al), гексагональна щільноупакована гратка (Mg), кубічна об'ємоцентрована гратка (Na). Іонні кристали: гратка NaCl, гратка флуориту (CaF2), гратка куприту (Cu2O), гратка хлористого цезію (CsCl). Напівпровідники: алмазна гратка (Si), гратка сфалериту (GaAs vs ZnS), гратка вюрциту (GaN vs ZnS). Ковалентні кристали: диоксид кремнію, лід. Молекулярні кристали. Гетеродесмічні кристали: молекулярні кристали (I2), ланцюгові (g-Se), шаруваті (a-As). Особливі випадки: B, C, P. Ізолятори. Кристалічні структури одноелементних речовин.

Структурні фазові переходи: напівпровідник – метал в олові, іонний кристал – суперіонний провідник в AgI, фероелектричний перехід в BaTiO3. Високотемпературні надпровідники. Поверхня кристалу, реконструкція поверхні, STM зображення. Нанолисти і нанотрубки.

Фізичні властивості кристалів

Спонтанна поляризація. Тензор діелектричної проникності. П'єзоелектричний тензор і генерація другої гармоніки. Тензор фотопружності і тензор пружних модулів. Обертання площини поляризації.

Динаміка кристалічної гратки. Фонони.

Електронна структура кристалів. Приклади: симетрії хвильових функцій в центрі зони Брілюена арсеніду галію і кристалів групи Oh.

Додаткові питання

Симетрія багаточастинкової системи.

Структурні фазові переходи. Теорія Ландау фазових переходів i симетрія параметра порядку.